Question

14．已知不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0對任意的x≤0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍（-∞，-1]．

Answer 1

分析 由題意可得-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），由二次函數(shù)的最值的求法，結合單調性可得最大值，進而得到a的范圍．

解答 解：不等式2x+$\sqrt{1-x}$+a≤0對任意的x≤0恒成立，
即為-a≥2x+$\sqrt{1-x}$的最大值，
令$\sqrt{1-x}$=t（t≥1），則x=1-t²，
即有2x+$\sqrt{1-x}$=2-2t²+t=-2（t-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{17}{8}$，
在[1，+∞）遞減，當t=1時，取得最大值1，
即有-a≥1，解得a≤-1．
故答案為：（-∞，-1]．

點評 本題考查不等式恒成立問題，注意轉化為求函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．