Question

【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四邊形面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：依題設(shè)得橢圓的方程為，

直線的方程分別為，．············ 2分

如圖，設(shè)，其中，

且滿足方程，故．①

由知，得；

由在上知，得．所以，

化簡(jiǎn)得，解得或．················ 6分

（Ⅱ）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)到的距離分別為，

．9分

又，所以四邊形的面積為

，

當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．所以的最大值為．

【解析】

試題（Ⅰ）由題意易得橢圓方程，直線的方程，再設(shè)，滿足方程，把用坐標(biāo)表示出來(lái)得，又點(diǎn)在直線上，則，根據(jù)以上關(guān)系式可解得的值；（Ⅱ）先求點(diǎn)E、F到AB的距離，再求，則可得面積，然后利用不等式求面積的最大值.

試題解析：（I）依題意，得橢圓的方程為， 1分

直線的方程分別為， 2分

如圖設(shè)，其中，

滿足方程且故，

由知，得， 4分

由點(diǎn)在直線上知，得， 5分

，化簡(jiǎn)得解得或. 7分

（II）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式和①式知，點(diǎn)E、F到AB的距離分別為

， 8分

， 9分

又，所以四邊形AEBF的面積為

， 11分

當(dāng)即當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，所以S的最大值為13分