Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若的極大值小于整數(shù)，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）為上的減函數(shù)（2）3

【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，法一、結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)性即可；法二、令，則，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的極大值，即可得到結(jié)論；

（2）令，則，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到有兩個(gè)實(shí)數(shù)根（），取出實(shí)數(shù)的取值范圍，進(jìn)而求出的極大值，進(jìn)而得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

詳解：（1）由題.

方法1：由于，

又，所以，從而，

于是為上的減函數(shù).

方法2：令，則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).

故在時(shí)取得極大值，也即為最大值.

則.由于，所以，

于是為上的減函數(shù).

（2）令，則，

當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù).

當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于.

由于有兩個(gè)極值點(diǎn)，所以有兩個(gè)不等實(shí)根，

即有兩不等實(shí)根（）.

則解得.

可知，由于，，則.

而，即（#）

所以，于是，（*）

令，則（*）可變?yōu)?/span>，

可得，而，則有，

下面再說明對于任意，.

又由（#）得，把它代入（*）得，

所以當(dāng)， 恒成立，

故為的減函數(shù)，所以.

所以滿足題意的整數(shù)的最小值為3.