Question

20．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax^2+x，x＞0}\\{-2x，x≤0}\end{array}\right.$，若不等式f（x-2）≥f（x）對一切x∈R恒成立，則a的最小值為（　�。�

• A． -$\frac{7}{16}$
• B． -$\frac{9}{16}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． -$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象，進行求解即可．

解答 解：f（x-2）表示函數(shù)f（x）的圖象向右平移2個單位，若f（x-2）≥f（x）恒成立，
則等價為f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象，
由選擇項知，a≠0，
若a＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：此時不滿足條件．

若a＜0時，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
要使f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象，

只需要當x＞0時，和y=-2x平行的直線與y=ax²+x相切或相離即可，
設和y=-2x平行的直線方程為y=-2x+b，
y=ax²+x的導數(shù)f′（x）=2ax+1，
由2ax+1=-2得2ax=-3，
即x=-$\frac{3}{2a}$，此時y=a（-$\frac{3}{2a}$）²-$\frac{3}{2a}$=$\frac{3}{4a}$，即切線坐標為（-$\frac{3}{2a}$，$\frac{3}{4a}$），
則對應的切線方程為y-$\frac{3}{4a}$=-2（x+$\frac{3}{2a}$），
令y=0，得切線在x軸的零點為-$\frac{9}{8a}$，
要使使f（x-2）的圖象高于f（x）的圖象，
則-$\frac{9}{8a}$≥2，得a≥-$\frac{9}{16}$，
故選：B

點評 本題主要考查不等式恒成立問題，利用函數(shù)圖象平移關系，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵．綜合性較強．