Question

【題目】已知定點(diǎn)，定直線，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離比點(diǎn)到的距離小1.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與（1）中軌跡C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N，若，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x．（2）﹣12＜k＜0．

【解析】

（1）根據(jù)條件結(jié)合拋物線的定義即可求軌跡C的方程；

（2）設(shè)直線方程聯(lián)立直線和拋物線方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用,即可求出斜率的范圍．

（1）設(shè)P（x，y），由題意可得，P在直線x+2＝0右邊，所以P點(diǎn)到直線x＝﹣1和到F（1，0）距離相等，所以P點(diǎn)的軌跡是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，F為焦點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線，

∵F和頂點(diǎn)的距離1，2p＝4，所以軌跡C的方程是y2＝4x．

（2）由題意知直線l的斜率存在設(shè)為k，所以直線l的方程y＝kx+2（k≠0），M（），N（）聯(lián)立得消去x得ky2﹣4y+8＝0

∴，，且△＝16﹣32k＞0即k．

∴（）（）＝（）（）+y1y2

∵，∴﹣12＜k＜0，滿(mǎn)足k，

∴﹣12＜k＜0．