Question

【題目】已知數(shù)列｛｝的首項(xiàng)a1＝2，前n項(xiàng)和為，且數(shù)列｛｝是以為公差的等差數(shù)列·

（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，，數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，

①求證：數(shù)列｛｝為等比數(shù)列，

②若存在整數(shù)m，n(m＞n＞1)，使得，其中為常數(shù)，且－2，求的所有可能值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見證明；②當(dāng)n=2，m=4時(shí)，λ=-2，當(dāng)n=2，m=3時(shí)，λ=-1.

【解析】

（1）先求解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)求解的通項(xiàng)公式；（2）①采用錯(cuò)位相減法先求，再根據(jù)，證明為等比數(shù)列；②將所給的等式變形，然后得到對(duì)應(yīng)的等量關(guān)系，接著分析此等量關(guān)系（借助數(shù)列的單調(diào)性）在什么時(shí)候滿足即取什么值時(shí)能滿足要求.

（1）因?yàn)?/span>，所以

所以

即

當(dāng)時(shí)，

∴

當(dāng)n=1時(shí)，，符合上述通項(xiàng)，所以

(2）①因?yàn)?/span>，所以

所以

則

兩式相減，可整理得

∴，，且

所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

②由①可知，，且由（1）知，代入

可得

整理得

即：，設(shè)，則

則

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，即

因?yàn)?/span>，且

所以

所以或，即n=2，m=4或3

當(dāng)n=2，m=4時(shí)，λ=-2，

當(dāng)n=2，m=3時(shí)，λ=-1.