Question

【題目】已知函數(shù).

(1)討論的單調(diào)性；

(2)當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個極值點(diǎn)為，，證明:.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析。

【解析】

（1）利用導(dǎo)函數(shù)分子的判別式分情況討論，即可，注意參數(shù)時(shí)，函數(shù)圖像開口也會發(fā)生相應(yīng)的變化。（2）利用對數(shù)平均不等式，證明即可。

解：（1），，

對于一元二次方程， ，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，無解或一個解，

有時(shí)，，此時(shí) 在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有兩個解，

其解為， 當(dāng)時(shí)，，故在 及時(shí)，；且時(shí)，，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，一個實(shí)根小于0，一個實(shí)根大于0，所以在時(shí)，，在，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

綜上所述：即時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，即在及上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。

（2）當(dāng)時(shí)，，，又因?yàn)?/span>的兩個極值點(diǎn)為，，則，是方程的兩實(shí)數(shù)根，設(shè)。

又因?yàn)?/span>，故要證，

只需證，

只需證，

只需證，

下面證明不等式，不妨設(shè)，要證，即證，即證，令，設(shè)，則，所以，函數(shù)在上遞減，而，因此當(dāng) 時(shí)，恒成立，即成立，即成立，

所以，得證。