Question

【題目】以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）點(diǎn)在曲線上，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線：垂直，求點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與曲線有且只有一個公共點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）.

【解析】

（1）求出曲線的普通方程，根據(jù)題意求出直線的方程，再將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線的方程為（其中為直線的斜率），求出直線與半圓相切時直線的斜率的值，設(shè)點(diǎn)，，，求出直線、的斜率，利用數(shù)形結(jié)合思想可求得直線的斜率的取值范圍.

（1）由，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為：，

點(diǎn)在曲線上，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線：垂直，

直線與直線：平行，

直線的斜率，即的方程為，

由，得：．

即點(diǎn)的坐標(biāo)為；

（2）將直線化為普通方程：（為直線的斜率），

當(dāng)直線與半圓相切時，則有．

，或，

設(shè)點(diǎn)，，，則，．

由圖象知，當(dāng)直線與半圓相切時，則，此時.

因此，當(dāng)直線與半圓有且只有一個公共點(diǎn)時，直線的斜率的取值范圍是．