Question

已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，設(shè).討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）證明當(dāng).

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).
（2）見解析.

解析試題分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，研究導(dǎo)函數(shù)值的正負(fù)，確定單調(diào)區(qū)間.
由于，當(dāng)時(shí)，.
所以，討論當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，即得結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，由于導(dǎo)數(shù)，通過確定函數(shù)的單調(diào)性及最值，達(dá)到解題目的.
由于，
所以令，再次利用導(dǎo)數(shù)加以研究，
當(dāng)時(shí)， 在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)， 在上是增函數(shù)，
又
得到當(dāng)時(shí),恒有,即,
在上為減函數(shù)，由，得證.
（1），所以．        2分
當(dāng)時(shí)，，故有：
當(dāng)，即時(shí)，，；
當(dāng)，即時(shí)，，
令，得；令，得，        5分
綜上，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．  6分
（2）設(shè)，則，
令，則，               8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/08/4/1mlvt3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以當(dāng)時(shí)，；在上是減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，
又所以當(dāng)時(shí),恒有,即,
所以在上為減函數(shù)，所以，
即當(dāng)時(shí)，.               &nb