Question

【題目】已知，是橢圓：的左右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)（在第一象限），的周長(zhǎng)為8，的離心率為.

（1）求的方程；

（2）設(shè)，為的左右頂點(diǎn)，直線的斜率為，的斜率為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義可知，周長(zhǎng)為，結(jié)合已知求出，即可求解；

（2）若直線斜率不存在時(shí)，求出坐標(biāo)，以及值，并有 ；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，得出兩點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，求出，，再求出取值范圍，將表示為的二次函數(shù)，轉(zhuǎn)化求二次函數(shù)的取值范圍，即可求得結(jié)論.

解：（1）由條件得解得，

所以的方程為.

（2）由（1）得，，，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，

，.

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，此時(shí)直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，

設(shè)，，由得

，

則，，

∴

.∴.

因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以，（為橢圓的上頂點(diǎn)）

∴，

∴.