Question

4．已知函數(shù)y=x⁴-2x²+5的定義域?yàn)閇0，a]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)t=x²，則函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=x²，∵定義域?yàn)閇0，a]，
∴0≤t≤a²，
則函數(shù)等價(jià)為y=f（t）=t²-2t+5=（t-1）²+4，0≤t≤a²，
對(duì)稱軸為t=1，
若a²≤1，即0≤a≤1，此時(shí)函數(shù)在[0，a²]上為減函數(shù)，
則最大值為f（0）=5，最小值為f（a²）=a⁴-2a²+5，此時(shí)值域?yàn)閇a⁴-2a²+5，5]，
若1≤a²≤2，即0≤a≤$\sqrt{2}$，時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值f（1）=4，最大值為f（0）=5，此時(shí)值域?yàn)閇4，5]，
若a²＞2，即a＞$\sqrt{2}$時(shí)，當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)取得最小值f（1）=4，最大值為f（a²）=a⁴-2a²+5，此時(shí)值域?yàn)閇4，a⁴-2a²+5]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)值域的求解，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．