Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與該拋物線交于兩點(diǎn)， 面積的最小值為2．

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試問是否存在定點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)不共線時，使得以為直徑的圓必過點(diǎn)．若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；（2）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，通過利用函數(shù)的思想研究面積的最小值得到關(guān)于P方程，解方程即可. (2)第（2）問，根據(jù)以為直徑的圓必過點(diǎn)得到0，

化簡得到m和k的關(guān)系，看是否滿足題意.

試題解析：

（1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，

聯(lián)立

面積的最小即最小，

所以當(dāng)m=0時， 最小為2p,△MON面積的最小，

所以

（2）假設(shè)存在這樣的定點(diǎn)，當(dāng)不垂直于軸時，可設(shè)直線為，顯然.

聯(lián)立可得，由于p=2，所以點(diǎn) .

設(shè)，則， ，

化簡可得，即

當(dāng)時， ，恒過定點(diǎn)，即為點(diǎn)A，不合題意；

當(dāng)時， ，恒過定點(diǎn)，此時存在定點(diǎn)滿足條件.

容易驗證當(dāng)直線過點(diǎn)且垂直于軸時， ，綜上，存在唯一定點(diǎn)滿足條件.