Question

已知函數(shù)，且在處的切線方程為.
（1）求的解析式；
（2）證明：當(dāng)時，恒有；
（3）證明：若，，且，則.

Answer 1

（1）.（2）詳見解析.

解析試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求方程；（2）構(gòu)造新函數(shù)用導(dǎo)數(shù)法求解；
試題解析：（1）∵，∴切線斜率，
∴在處的切線方程為，
即.          （4分）
（2）令，
∵，
∴當(dāng)時，，時，，∴，
故，即.           （8分）
（3）先求在處的切線方程，由（1）得，
故在處的切線方程為，
即， （10分）
下面證明，
令，
∵
，
∴時，，時，，∴，
∴，      （12分）
∵，∴，
，
∴.        （14分）
考點：導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式的證明.