Question

已知函數(shù)，
（1）若x=1時取得極值，求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，求在上的最小值；
（3）若對任意，直線都不是曲線的切線，求實數(shù)的取值范圍。

Answer 1

（1）符合。
（2） ；
（3）.

解析試題分析：（1）∵，∴，得          
當(dāng)時， ； 當(dāng)時，。
∴在時取得極小值，故符合。               4分       
（2）當(dāng)時，對恒成立，在上單調(diào)遞增，
∴                          
當(dāng)時，由得，
若，則，∴在上單調(diào)遞減。
若，則，∴在上單調(diào)遞增。          
∴在時取得極小值，也是最小值，即。
綜上所述，        8分           
（3）∵任意，直線都不是曲線的切線，
∴對恒成立，即的最小值大于，
而的最小值為，∴，故.  12分
考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
點評：中檔題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。