Question

【題目】已知函數(shù)，對于任意的 ，都有, 當(dāng)時(shí)，，且.

( I ) 求的值；

(II) 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值；

(III) 設(shè)函數(shù)，判斷函數(shù)g(x)最多有幾個(gè)零點(diǎn)，并求出此時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（III）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)最多有個(gè)零點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)條件，取特殊值求解；

（Ⅱ）根據(jù)定義，判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值；

（Ⅲ）根據(jù)定義，判斷函數(shù)為奇函數(shù)，得出g（x）＝f（x2﹣2|x|﹣m），令g（x）＝0即f（x2﹣2|x|﹣m）＝0＝f（0），根據(jù)單調(diào)性可得 x2﹣2|x|﹣m＝0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知最多有4個(gè)零點(diǎn)，且m∈（﹣1，0）．

（I）令得，得.

令得，

令得

(II)任取且，則，

因?yàn)?/span>，即，

令

則.

由已知時(shí)，且，則，

所以 ，，

所以函數(shù)在R上是減函數(shù)，

故 在單調(diào)遞減.

所以，

又，

由，得 ，

，

故.

(III) 令代入，

得，

所以，故為奇函數(shù).

∴

=

=

，

令,即，

因?yàn)楹瘮?shù)在R上是減函數(shù)，

所以，即，

所以當(dāng) 時(shí)，函數(shù)最多有4個(gè)零點(diǎn).