Question

7．已知函數(shù)f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，x∈R
（1）函數(shù)h（x）=f（x+t）的圖象關于點（-$\frac{π}{6}$，0）對稱，且t∈（0，π），求t的值；
（2）x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，恒有|f（x）-m|＜3成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡可得f（x）=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x-1，h（x）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），由題意可得t=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），結合t∈（0，π），即可求得t的值．
（2）由x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，可得2x-$\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，得f（x）∈[1，2]，解不等式可得$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜1}\\{m+3＞2}\end{array}\right.$，解得m的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x-1=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x-1
∴h（x）=f（x+t）=2sin（2x+2t-$\frac{π}{3}$），
又已知點（-$\frac{π}{6}$，0）為h（x）的圖象的一個對稱中心，
∴t=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$（k∈Z），…（4分）
而t∈（0，π），
∴t=$\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{6}$．…6分
（2）若x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]時，2x-$\frac{π}{3}∈[\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}]$，
f（x）∈[1，2]，由|f（x）-m|＜3⇒m-3＜f（x）＜m+3． …10分
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-3＜1}\\{m+3＞2}\end{array}\right.$，解得-1＜m＜4，（11分）
即m的取值范圍是（-1，4）．…12分

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變化的應用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，不等式的解法，屬于中檔題．