Question

【題目】如圖，四邊形為正方形，分別為的中點(diǎn)，以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析.

(2) .

【解析】分析：(1)首先從題的條件中確定相應(yīng)的垂直關(guān)系，即BF⊥PF，BF⊥EF，又因為，利用線面垂直的判定定理可以得出BF⊥平面PEF，又平面ABFD，利用面面垂直的判定定理證得平面PEF⊥平面ABFD.

(2)結(jié)合題意，建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，正確寫出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面ABFD的法向量，設(shè)DP與平面ABFD所成角為，利用線面角的定義，可以求得，得到結(jié)果.

詳解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，又，所以BF⊥平面PEF.

又平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足為H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為y軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Hxyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得.

則 為平面ABFD的法向量.

設(shè)DP與平面ABFD所成角為，則.

所以DP與平面ABFD所成角的正弦值為.