Question

【題目】某單位為促進(jìn)職工業(yè)務(wù)技能提升，對(duì)該單位120名職工進(jìn)行一次業(yè)務(wù)技能測(cè)試，測(cè)試項(xiàng)目共5項(xiàng).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取了10名職工的測(cè)試結(jié)果，將它們編號(hào)后得到它們的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表（表1）所示（“√”表示測(cè)試合格，“×”表示測(cè)試不合格）.

表1：

編號(hào)\測(cè)試項(xiàng)目	1	2	3	4	5
1	×	√	√	√	√
2	√	√	√	√	×
3	√	√	√	√	×
4	√	√	√	×	×
5	√	√	√	√	√
6	√	×	×	√	×
7	×	√	√	√	×
8	√	×	×	×	×
9	√	√	×	×	×
10	√	√	√	√	×

規(guī)定：每項(xiàng)測(cè)試合格得5分，不合格得0分.

（1）以抽取的這10名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的頻率代替每名職工合格項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的概率.

①設(shè)抽取的這10名職工中，每名職工測(cè)試合格的項(xiàng)數(shù)為，根據(jù)上面的測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表，列出的分布列，并估計(jì)這120名職工的平均得分；

②假設(shè)各名職工的各項(xiàng)測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，某科室有5名職工，求這5名職工中至少有4人得分不少于20分的概率；

（2）已知在測(cè)試中，測(cè)試難度的計(jì)算公式為，其中為第項(xiàng)測(cè)試難度，為第項(xiàng)合格的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù).已知抽取的這10名職工每項(xiàng)測(cè)試合格人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表（表2）：

表2：

測(cè)試項(xiàng)目	1	2	3	4	5
實(shí)測(cè)合格人數(shù)	8	8	7	7	2

定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第項(xiàng)的實(shí)測(cè)難度，為第項(xiàng)的預(yù)測(cè)難度（）.規(guī)定：若，則稱(chēng)該次測(cè)試的難度預(yù)測(cè)合理，否則為不合理，測(cè)試前，預(yù)估了每個(gè)預(yù)測(cè)項(xiàng)目的難度，如下表（表3）所示：

表3：

測(cè)試項(xiàng)目	1	2	3	4	5
預(yù)測(cè)前預(yù)估難度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理.

Answer 1

【答案】（1）①分布列見(jiàn)解析，平均得分為；②；（2）合理.

【解析】

（1）①可取，由表格中數(shù)據(jù)，利用古典概型概率公式求出各隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分布列，進(jìn)而利用期望公式可得的數(shù)學(xué)期望，由的值可得平均分；②由①知，由互斥事件的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式可得結(jié)果；（2）直接利用方差公式求出方差，與比較大小即可得結(jié)果.

（1）①根據(jù)上面的測(cè)試結(jié)果統(tǒng)計(jì)表，得的分布列為：

	0	1	2	3	4	5
	0	0.1	0.2	0.2	0.4	0.1

所以的數(shù)學(xué)期望.

所以估計(jì)這12名職工的平均得分為.

②“得分不小于20分”即“”，

由①知.

設(shè)該科室5名職工中得分不小于20分的人數(shù)為，則.

所以，

即這5名職工中至少有4人得分不小于20分的概率為.

（2）由題意知

該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的.