Question

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項是首項為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是首項為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前n項和為且滿足

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若求正整數(shù)的值；

（3）是否存在正整數(shù)，使得恰好為數(shù)列的一項？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在兩個正整數(shù)；1或2

【解析】

（1）設(shè)的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為，運用通項公式，解方程可得，，即可得到所求通項公式；（2）當(dāng)為奇數(shù)時，當(dāng)為偶數(shù)時，運用通項公式，解方程可得的值；（3）求得，，若為數(shù)列中的一項，整理化簡求得，的值，再由數(shù)學(xué)歸納法證明，即可得到結(jié)論．

（1）設(shè)的奇數(shù)項構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為偶數(shù)項構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為則

由已知，得

故數(shù)列的通項公式為：

（2）當(dāng)k為奇數(shù)時，由得

由于而僅在時為正整數(shù)，與為奇數(shù)矛盾！

當(dāng)k為偶數(shù)時，由得

綜上，得

（3）由（1）可求得

若為數(shù)列中的一項，則（為正奇數(shù)）或（為正偶數(shù)）

（i）若（為正奇數(shù)），則

當(dāng)時，，結(jié)論成立；

當(dāng)時，由得解得

由于為正奇數(shù)，故此時滿足條件的正整數(shù)k不存在.

（ii）若（為正偶數(shù)），

顯然，則

由得得

由為正偶數(shù)得為正偶數(shù)，因此，從而

當(dāng)時，；下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，

①當(dāng)時，顯然；

②假設(shè)當(dāng) 時，有 ；則當(dāng) 時，

由得，

故

即時，結(jié)論成立.

由①，②知：時，

綜合（i），（ii）得：存在兩個正整數(shù),1或2，使為數(shù)列中的項.