Question

【題目】設(shè)圓的圓心為A，直線過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，設(shè)P為圓A上一點(diǎn)，線段PB的垂直平分線交直線PA于E

（1）證明為定值，并寫(xiě)出E的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C1，直線交C1于M,N兩點(diǎn)，問(wèn)：在軸上是否存在定點(diǎn)D使直線DM與DN的傾斜角互補(bǔ)，若存在求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）存在使直線DM與DN的傾斜角互補(bǔ).

【解析】

(1)由橢圓的定義可判斷出點(diǎn)E的軌跡，進(jìn)而可求出軌跡方程；

(2)先由題意設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系，以及直線DM與DN的傾斜角互補(bǔ)，即可求出結(jié)果.

（I）∵E為線段PB的垂直平分線上一點(diǎn)，∴

∴>

∴點(diǎn)E的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)的橢圓，2a=4.c=1, ∴

E的軌跡方程。

（II）由于直線過(guò)點(diǎn)B（1,0）且與x軸不重合，所以可設(shè)方程為

聯(lián)立消去x得 ，

設(shè) ，則

令,若直線DM與DN的傾斜角互補(bǔ)，則

,

∴ ∴

即∴

∴∴∴

所以存在使直線DM與DN的傾斜角互補(bǔ).