Question

如圖，PC⊥平面ABC，PM∥CB，∠ACB=120°，PM=AC=1，BC=2，異面直線AM與直線PC所成的角為60°．
（Ⅰ）求二面角M-AC-B大小的正切值；
（Ⅱ）求三棱錐P-MAC的體積．

Answer 1

分析：（I）在平面ABC內(nèi)，過C作CD⊥CB，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，求出平面MAC的一個法向量為

n

={x1，y1，z1}，平面ABC的法向量取為

m

=（0，0，1）利用 cosθ=

m • n

| m |•| n |

，解答即可．
（II）取平面PCM的法向量取為

n1

=（{1，0，0}），則點A到平面PCM的距離 h=

| CA • n1 |

| n1 |

，求出體積即可．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)，過點C作CB的垂線，按如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．（1分） 
設(shè)點P（0，0，z₀）（z₀＞0），由已知可得，點A(

3

2

，-

1

2

，0)，M（0，1，z₀），
則

AM

=(-

3

2

，

3

2

，z0)，

CP

=(0，0，z0)．
因為直線AM與直線PC所成的角為60°，
則

AM

•

CP

=|

AM

|•|

CP

|cos600，即z02=

1

2

z02+3

•z0．
解得z₀=1，從而

CM

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)．（3分）
設(shè)平面MAC的一個法向量為

n

=（x₁，y₁，z₁），
則

n• CM =0 n• CA =0

，即

y1+z1=0 3 2 x1- 1 2 y1=0

．
取x₁=1，則

n

=(1，

3

，-

3

)．（5分）
又

m

=（0，0，1）為平面ABC的一個法向量，
設(shè)向量

m

與

n

的夾角為θ，則cosθ=

m•n

|m||n|

=-

3

7

．
從而sinθ=

2

7

，tanθ=-

2 3

3

．（7分）
顯然，二面角M-AC-B的平面角為銳角，故二面角M-AC-B的正切值是

2 3

3

．（8分）
（Ⅱ）因為a=（1，0，0）為平面PCM的一個法向量，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，
則點A到平面PCM的距離h=

| CA •a|

|a|

=

3

2

．（10分）
又PC=PM=1，則VP-MAC=VA-PCM═

1

3

×

1

2

•PC•PM•h=

1

6

×1×1×

3

2

=

3

12

．（12分）

點評：本題主要考查二面角的平面角、三棱錐體積等有關(guān)知識，考查思維能力和空間想象能力、應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和推理運算能力．