Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式在上恒成立，求a的取值范圍；

（2）若函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，求b的值及該函數(shù)的零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）（2）,函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為

【解析】

（1）利用換元法,將不等式變形,構(gòu)造成二次函數(shù)形式,結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性即可求得的取值范圍.

（2）根據(jù)零點(diǎn)定義,可得對(duì)應(yīng)的方程.利用換元法,將方程變形,由方程有三個(gè)零點(diǎn)和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性,可確定其中的一個(gè)解.將方程的解代入即可求得的值,再將的值代入即可求得方程的三個(gè)根,即函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn).

（1）令,由可得

則不等式在上恒成立,可化為在上恒成立

即,變形可得

所以

因?yàn)?/span>,則

所以根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知

實(shí)數(shù)滿(mǎn)足

所以實(shí)數(shù)的范圍為

（2）令,則由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可知

函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)需滿(mǎn)足

所以,化簡(jiǎn)可得

即

化簡(jiǎn)可得

因?yàn)?/span>恰好有三個(gè)實(shí)數(shù)根

則必有一根為（否則根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知會(huì)有四個(gè)根）

即

代入方程可解得

則方程可化為,解方程可得或

當(dāng)時(shí),即,解得

綜上可知,,函數(shù)的三個(gè)零點(diǎn)分別為