Question

已知函數(shù)（ 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）已知且，試解關(guān)于的不等式 ；
（Ⅲ）已知且.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，試求的最大值．

Answer 1

（1）
（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解為；當(dāng)時(shí)，不等式的解為
（3）3

解析試題分析：解：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1b/6/uhsrs2.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，故，
因?yàn)楹瘮?shù)的最小值為，所以．              3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，.
當(dāng)時(shí)，， 5分
故不等式可化為：，
即，           6分
得，
所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解為；
當(dāng)時(shí)，不等式的解為．          8分
（Ⅲ）∵當(dāng)且時(shí)，，
∴.
∴原命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為:存在實(shí)數(shù)，使得不等式對(duì)任意恒成立.        10分
令.
∵，∴函數(shù)在為減函數(shù).       11分
又∵，∴.          12分
∴要使得對(duì)，值恒存在，只須．     13分
∵，
且函數(shù)在為減函數(shù)，
∴滿足條件的最大整數(shù)的值為3．   14分
考點(diǎn)：函數(shù)與不等式
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)與不等式的綜合運(yùn)用，以及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的求解屬于中檔題。