Question

11．2015年2月27日，中央全面深化改革小組審議通過了《中國足球改革總體方案》，中國足球的崛起指日可待！已知有甲、乙、丙三支足球隊，每兩支球隊要進(jìn)行一場比賽，比賽之間相互獨立．
（1）若甲、乙、丙三支足球隊實力相當(dāng)，每兩支球隊比賽時，勝、平、負(fù)的概率均為$\frac{1}{3}$，
求甲隊能保持不敗的概率
（2）若甲、乙兩隊實力相當(dāng)，且優(yōu)于丙，具體數(shù)據(jù)如下表
若獲勝一場積3分，平一場積1分，輸一場積0分，記X表示甲隊的積分，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望

概率 事件	甲勝乙	甲平乙	甲輸乙
概率	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$

概率 事件	甲勝丙	甲平丙	甲輸丙
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

概率 事件	乙勝丙	乙平丙	乙輸丙
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

Answer 1

分析 （1）甲隊能保持不敗，由指甲和乙、丙兩隊比賽時都沒有失敗，由此能求出甲隊保持不敗的概率．
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）設(shè)事件A為“甲隊能保持不敗”，
由已知得P（A）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
即甲隊保持不敗的概率為$\frac{4}{9}$．…（4分）
（2）由已知得X的可能取值為0，1，2，3，4，6，
P（X=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}=\frac{1}{18}$，
P（X=1）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{9}$，
P（X=2）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{18}$，
P（X=3）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=4）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{6}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{5}{18}$，
P（X=6）=$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{2}{9}$，
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4	6
P	$\frac{1}{18}$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{5}{18}$	$\frac{2}{9}$

E（X）=$0×\frac{1}{18}+1×\frac{1}{9}+2×\frac{1}{18}+3×\frac{5}{18}+4×\frac{5}{18}$+$6×\frac{2}{9}$=$\frac{7}{2}$．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．