Question

【題目】已知函數(shù)，，．

(Ⅰ)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)設(shè)，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)見解析； (Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)求解出點，再利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，從而得切線方程；(Ⅱ)求導(dǎo)后，分別在、和三個范圍中討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到原函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅲ)將問題轉(zhuǎn)化為在上的值域是在上的值域的子集，利用導(dǎo)數(shù)分別求解出兩個函數(shù)的值域，從而構(gòu)造不等式，解出取值范圍.

(Ⅰ)當(dāng)時，，所以

所以

所以曲線在處的切線方程為，即

(Ⅱ)的定義域是，

令，得

①當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是

②當(dāng)時，變化如下：

	+		-	-		+
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

③當(dāng)時，變化如下：

	+		-	-		+
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是

(Ⅲ)因為，所以

當(dāng)時，

所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增

所以在上的最小值是，最大值是

即當(dāng)時，的取值范圍為

由(Ⅱ)知，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

因為，所以不合題意

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減

所以在上的最大值為，最小值為

所以當(dāng)時，的取值范圍為

“對于任意，總存在，使得成立”等價于

即，解得

所以的取值范圍為