Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的單調性；

（2）若恰有兩個整數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當時，為上的減函數(shù)；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）

【解析】

（1）求導后，分別在和兩種情況下判斷導函數(shù)的正負，從而得到原函數(shù)的單調性；（2）將問題轉變?yōu)?/span>恰有兩個整數(shù)解，令，通過導數(shù)可得函數(shù)的單調性，進而得到函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合的方式判斷出恰有兩個整數(shù)解的情況，從而得到所求范圍.

（1）由題意知：

當時， 為上的減函數(shù)

當時，由，解得：

當時，；當時，

的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為

綜上所述：當時，為上的減函數(shù)；當時，的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為

（2）由恰有兩個整數(shù)解可得恰有兩個整數(shù)解

設，則：

令，解得：

當時，；當時，

在上單調遞增，在上單調遞減

又，，，

可得圖象如下圖所示：

根據(jù)數(shù)形結合可知，若恰有兩個整數(shù)解，則需

即當時，恰有兩個整數(shù)解