Question

已知橢圓＋＝1(a＞0，b＞0)的左焦點F為圓x²＋y²＋2x＝0的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為－1.

(1)求橢圓方程；

(2)已知經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點，證明：·為定值．

Answer 1

解　(1)化圓的標準方程為(x＋1)²＋y²＝1，

則圓心為(－1,0)，半徑r＝1，所以橢圓的半焦距c＝1.

又橢圓上的點到點F的距離最小值為－1，所以a－c＝－1，即a＝.

故所求橢圓的方程為＋y²＝1.

(2)①當直線l與x軸垂直時，l的方程為x＝－1.

可求得

此時，·＝＝－.

②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋1)，

由得(1＋2k²)x²＋4k²x＋2k²－2＝0，

設A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝.

因為·＝＋y₁y₂

＝x₁x₂＋(x₁＋x₂)＋²＋k(x₁＋1)·k(x₂＋1)

＝(1＋k²)x₁x₂＋ (x₁＋x₂)＋k²＋

＝(1＋k²)·＋k²＋

＝＋＝－2＋＝－.

所以，·為定值，且定值為－.