Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足，，.

（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組；

（3）若數(shù)列滿足，是否存在實數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

（1）利用等比數(shù)列的定義結(jié)合數(shù)列的遞推公式證明出為非零常數(shù)，即可證明出數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）由（1）中的結(jié)論求出等比數(shù)列的通項公式，然后分、、三種情況討論，結(jié)合等比數(shù)列和指數(shù)運算可求出、的值，由此可得出結(jié)果；

（3）求得，作差，分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求解不等式恒成立問題，利用參變量分離法求出實數(shù)的取值范圍.

（1）由，，

即，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；

（2）由（1）知，、、這三項經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，

①若，則，，

又，，；

②若，則，，

左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不成立；

③若，同理也不成立.

綜合①②③得，；

（3）依題意，

則.

若存在，則對恒成立.

①當(dāng)為奇數(shù)時，，其中當(dāng)時，，故；

②當(dāng)為偶數(shù)時，，其中當(dāng)時，，故.

綜上所述，存在實數(shù)，使得數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.