Question

【題目】已知拋物線(xiàn)：準(zhǔn)線(xiàn)為，焦點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交于點(diǎn)，直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)，為線(xiàn)段中點(diǎn)．

（1）若，求直線(xiàn)的方程；

（2）試問(wèn)直線(xiàn)的斜率是否為定值，若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）是，定值0

【解析】

（1）由=5及拋物線(xiàn)定義得點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，求出直線(xiàn) OA的方程，進(jìn)而求得，利用點(diǎn)斜式方程即可得到直線(xiàn)的方程；

（2）由已知直線(xiàn)OA的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)OA的方程為，與準(zhǔn)線(xiàn)聯(lián)立

解得；由為線(xiàn)段中點(diǎn)，得坐標(biāo)為，將直線(xiàn)OA的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立可得，計(jì)算直線(xiàn)的斜率即可得到答案.

（1）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，的焦點(diǎn)為，

由及拋物線(xiàn)定義得點(diǎn)橫坐標(biāo)為4，

由點(diǎn)位于第一象限內(nèi)且在拋物線(xiàn)上得點(diǎn)坐標(biāo)為，

于是=1，則直線(xiàn)OA的方程為，與準(zhǔn)線(xiàn)聯(lián)立解得，

因此=，所以直線(xiàn)的方程為，即.

（2）由已知直線(xiàn)OA的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)OA的方程為，與準(zhǔn)線(xiàn)聯(lián)立

解得，于是，

由已知，故設(shè)直線(xiàn)的方程為，與聯(lián)立并消去得， ，其中.

設(shè)，則，則 ，

由于為線(xiàn)段中點(diǎn)，于是點(diǎn)坐標(biāo)為，

直線(xiàn)OA的方程，與聯(lián)立解得，

所以直線(xiàn)的斜率為0，綜上可知直線(xiàn)的斜率為定值0.