Question

【題目】若對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，b，函數(shù)與直線總相切，則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”；

（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m，n滿足的關(guān)系式；

（3）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，求證：.

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)為“恒切函數(shù)”（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）設(shè)切點(diǎn)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切點(diǎn)為切線和函數(shù)圖象的公共點(diǎn)，“恒切函數(shù)”，即為，根據(jù)關(guān)系式，求解即可；

（2）設(shè)切點(diǎn)為，由，求出，即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)切點(diǎn)為，由，得到，先求出關(guān)于切點(diǎn)方程的解或解的范圍，再由，即可求出的取值范圍.

（1）函數(shù)為“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為.

則，∴

對(duì)于函數(shù).

設(shè)切點(diǎn)為，∴，

解得：.∴是“恒切函數(shù)”.

（2）若函數(shù)是“恒切函數(shù)”，

設(shè)切點(diǎn)為.

，

解得：，即.

∴實(shí)數(shù)m，n滿足的關(guān)系式為：.

（3）函數(shù)是“恒切函數(shù)”，設(shè)切點(diǎn)為.

∵，∴，

∴.

考查方程的解，設(shè).

∵，令，解得：.

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

∴.

1°當(dāng)時(shí)

∵.

∴在上有唯一零點(diǎn).

又∵，

∴.

2°當(dāng)時(shí)∵，

∴在上有唯一零點(diǎn)0，∴.

綜上可知：.