Question

2．定義區(qū)間（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的長度均為d=b-a，多個區(qū)間并集的長度為各區(qū)間長度之和，例如：（1，2）∪[3，5）的長度d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，記{x}=x-[x]，其中x∈R，設(shè)f（x）=[x]•{x}，g（x）=x-1，若用d₁，d₂，d₃分別表示不等式f（x）＞g（x），方程f（x）=g（x），不等式f（x）＜g（x）解集區(qū)間的長度，則當(dāng)0≤x≤2011時，有（　�。�

• A． ）d₁=1，d₂=2，d₃=2008
• B． ）d₁=1，d₂=1，d₃=2009
• C． ）d₁=3，d₂=5，d₃=2003
• D． ）d₁=2，d₂=3，d₃=2006

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分別求出f（x）＞g（x）、f（x）=g（x）與f（x）＜g（x）在0≤x≤2011時的解集即可．

解答 解：∵f（x）=[x]•{x}=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]²，g（x）=x-1，
∴由f（x）＞g（x）得，[x]x-[x]²＞x-1，
即（[x]-1）x＞[x]²-1；
當(dāng)x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＜1，∴x∈[0，1）；
當(dāng)x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＜0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2011時的解集為[0，1），故d₁=1；
由f（x）=g（x）得，[x]x-[x]²=x-1，
即（[x]-1）x=[x]²-1；
當(dāng)x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x=1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0=0，∴x∈[1，2）；
當(dāng)x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2011時的解集為[1，2），故d₂=1；
由f（x）＜g（x）得，[x]x-[x]²＜x-1，
即（[x]-1）x＜[x]²-1；
當(dāng)x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，∴x∈∅；
當(dāng)x∈[2，2011]時，[x]-1＞0，上式可化為x＜[x]+1，∴x∈[2，2011]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2011時的解集為[2，2011]，故d₃=2009．
綜上，d₁=1，d₂=1，d₃=2009．
故選：B．

點評 本題考查了新定義的關(guān)于函數(shù)性質(zhì)以及不等式的解法和應(yīng)用問題，是綜合性題目．