Question

【題目】已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍為．

【解析】

試題（1）求橢圓的方程，已知橢圓經(jīng)過點，一個焦點為，故可用待定系數(shù)法，利用焦點為可得，利用過點，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）求的取值范圍，由弦長公式可求得線段的長，因此可設，由得，，則是方程的兩根，有根與系數(shù)關系，得，，由弦長公式求得線段的長，求的長，需求出的坐標，直線與軸交于點，可得，線段的垂直平分線與軸交于點，故先求出線段的中點坐標，寫出線段的垂直平分線方程，令，既得點的坐標，從而得的長，這樣就得的取值范圍．

試題解析：（1）由題意得解得，．

所以橢圓的方程是． 4分

（2）由得．

設，則有，，

．所以線段的中點坐標為，

所以線段的垂直平分線方程為．

于是，線段的垂直平分線與軸的交點，又點，

所以．

又．

于是，．

因為，所以．所以的取值范圍為． 14分