Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-$\frac{8}{x}$，x∈[2，4]．
（1）當a=3時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＞0，求f（x）的最大值h（a）．

Answer 1

分析 （1）去絕對值，討論當3≤x≤4時，當2≤x＜3時，運用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)性，進而得到單調(diào)區(qū)間；
（2）討論a的范圍，當a＞4時，當a＜2時，當2≤x≤a≤1+2$\sqrt{2}$時，當1+2$\sqrt{2}$＜a≤4時，去掉絕對值，由喊話說的單調(diào)性可得最大值．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=|x-3|-$\frac{8}{x}$，x∈[2，4]，
當3≤x≤4時，f（x）=x-$\frac{8}{x}$-3的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+$\frac{8}{{x}^{2}}$＞0，f（x）遞增；
當2≤x＜3時，f（x）=3-x-$\frac{8}{x}$的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-1+$\frac{8}{{x}^{2}}$，
當2$≤x＜2\sqrt{2}$時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當2$\sqrt{2}$＜x＜3時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有f（x）的增區(qū)間為（2，2$\sqrt{2}$），（3，4），減區(qū)間為（2$\sqrt{2}$，3）；
（2）當a＞4時，f（x）=a-x-$\frac{8}{x}$在（2，2$\sqrt{2}$）遞增，在（2$\sqrt{2}$，4）遞減，
即有最大值為f（2$\sqrt{2}$）=a-4$\sqrt{2}$；
當a＜2時，f（x）=x-$\frac{8}{x}$-a在[2，4]遞增，即有最大值為f（4）=2-a；
當2≤a≤4時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-\frac{8}{x}-a，x≥a}\\{a-x-\frac{8}{x}，x＜a}\end{array}\right.$，
當2≤x≤a≤1+2$\sqrt{2}$時，f（x）遞增，
即有最大值為f（4）=4-2-a=2-a；
當1+2$\sqrt{2}$＜a≤4時，2-a＜a-4$\sqrt{2}$，則最大值為a-4$\sqrt{2}$；
綜上可得，當a＞4時，f（x）的最大值為a-4$\sqrt{2}$；
當a＜2時，f（x）的最大值為2-a；
當2≤a≤1+2$\sqrt{2}$時，f（x）的最大值為2-a；
當1+2$\sqrt{2}$＜a≤4時，f（x）的最大值為a-4$\sqrt{2}$．

點評 本題考查含絕對值函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值的求法，注意運用分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．