Question

【題目】定義：若函數(shù)的定義域為，且存在非零常數(shù)，對任意 ， 恒成立，則稱為線周期函數(shù)， 為的線周期．

（1）下列函數(shù)①，②，③（其中表示不超過x的最大整數(shù)），是線周期函數(shù)的是 （直接填寫序號）；

（2）若為線周期函數(shù)，其線周期為，求證： 為周期函數(shù)；

（3）若為線周期函數(shù)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）③；（2）見解析；（3）1

【解析】試題分析：（1）根據(jù)新定義判斷即可，
（2）根據(jù)新定義證明即可，
（3）為線周期函數(shù)，可得存在非零常數(shù)，對任意， .．即可得到，解得驗證即可．

試題解析：

（1）③；

（2）證明：∵為線周期函數(shù)，其線周期為，

∴存在非零常數(shù)，對任意 ， 恒成立.

∵,

∴ .

∴為周期函數(shù).

（3）∵為線周期函數(shù)，

∴存在非零常數(shù)，對任意， .

∴．

令，得；令，得；

①②兩式相加，得.

∵，∴．檢驗：

當時， ．存在非零常數(shù)，對任意，

，

∴為線周期函數(shù)，綜上， .