Question

8．已知關(guān)于x的不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集為∅，求實(shí)數(shù)t的范圍K以及函數(shù)f（t）=（t+3）（1+|t-1|），（t∈K）的值域．

Answer 1

分析 由不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集為∅，得判別式小于0求得t的范圍，寫出分段函數(shù)，分段求得值域后取并集得答案．

解答 解：由不等式x²-4tx+2t+30≤0的解集為∅，得△=16t²-4（2t+30）＜0，解得$-\frac{5}{2}＜t＜3$，
即K=$（-\frac{5}{2}，3）$．
$f（t）=\left\{\begin{array}{l}{（t+3）t，1≤t＜3}\\{（t+3）（2-t），-\frac{5}{2}＜t＜1}\end{array}\right.$．
當(dāng)1≤t＜3時(shí)，4≤f（t）＜18；當(dāng)$-\frac{5}{2}＜t＜1$時(shí)，$\frac{9}{4}＜f（t）≤\frac{25}{4}$．
綜上，f（t）的值域?yàn)?（\frac{9}{4}，18）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值域的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，注意分段函數(shù)的值域分段求，最后取并集，是中檔題．