Question

【題目】已知橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，其中也是拋物線的焦點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）過的直線（不與軸重合）交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意，由拋物線性質(zhì)可求焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義，可求，計(jì)算即可求解；

（2）設(shè)，討論直線與軸是否垂直，再根據(jù)直線與橢圓方程聯(lián)立方程組法，結(jié)合韋達(dá)定理，計(jì)算，即可證明.

（1）拋物線的焦點(diǎn)為，

，∴，

∴，∴，

又，∴，

∴，∴，

又∵，∴，

∴橢圓的方程是：；

（2）設(shè)

當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易得：或，

又，∴，或者，

∴，∴

當(dāng)直線與不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為：，

聯(lián)方程組，消去整理得：，

所以：，

又共線，

∴，得，同理：，

∴，

∴

又因?yàn)?/span>

∴，則

綜上，為定值.