Question

【題目】已知函數(shù)(，)，且的解集為；數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意，滿足.

（1）求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）已知數(shù)列滿足，若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），，（2），（3）或

【解析】

（1）利用不等式的解集與方程的關(guān)系,可求得函數(shù)的解析式,代入已知條件,可得,即可求得的值;根據(jù)即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式;

（2）利用遞推公式,遞推后作差可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.則數(shù)列為等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積形式,結(jié)合錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列的前項(xiàng)和;

（3）代入數(shù)列的通項(xiàng)公式,可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.利用作差法可知數(shù)列的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性求得的最大值.代入解析式即可得一元二次不等式,解不等式即可求得的取值范圍.

（1）函數(shù)(,),且的解集為

可知,是方程的兩根,

則,解得

所以

由,代入可得

當(dāng)時(shí),；

當(dāng)時(shí),,檢驗(yàn)n=1時(shí)符合.

綜上所述,,

（2）由,則,,

由

則

所以

當(dāng)時(shí),；

則,解得

則是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,則,

由則①

②由①-②可得

則,

（3）由,則

當(dāng)時(shí),則

當(dāng)時(shí),,則

當(dāng)時(shí),,則

綜上所述,的最大值為

由對(duì)恒成立,

則

解不等式可得或