Question

【題目】已知各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足： ， （）.

（1）求；

（2）證明： （）；

（3）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證： .

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】分析：（1）根據(jù)條件遞推公式： ， ，依次推導(dǎo)。（2）要證明，故應(yīng)由條件得到，所以將條件兩邊減去2得，將右邊通分，進(jìn)而化為 由條件，可得。所以與異號(hào)。得到結(jié)論。（3）由（2）知與異號(hào)，要求數(shù)列的前項(xiàng)和為，故應(yīng)找數(shù)列的間隔項(xiàng)的關(guān)系。由（2）知，利用此關(guān)系式將式子中的化成 ，并化簡(jiǎn)可得 （）。

要找數(shù)列的間隔項(xiàng)的關(guān)系，再變?yōu)?/span> （）。應(yīng)判斷式子右邊的范圍。由可得 （）。進(jìn)而得左邊的范圍 （）。所以與同號(hào)。先求數(shù)列前兩項(xiàng)的范圍， 。進(jìn)而可得數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)的正負(fù)。即當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， 。再分奇偶判斷數(shù)列奇數(shù)、偶數(shù)項(xiàng)的范圍及單調(diào)性�？傻�，結(jié)合條件可得。由（2）知，故先求右邊的范圍

，進(jìn)而得。利用累乘法可得。再用等比數(shù)列求和公式可得�；�簡(jiǎn)可得 。

詳解：（1）

（2）

與異號(hào)

（3）由（2）知

（）

（）

所以 （）

（）

（）

與同號(hào)

又

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

①當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)

數(shù)列遞增且各項(xiàng)都小于2

②當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)

數(shù)列遞減且各項(xiàng)都大于2

由①②知，

由（2）知

又