Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）1

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)后對(duì)進(jìn)行分類討論，找到和的區(qū)間，即為的單調(diào)區(qū)間.

（2）由（1）可知時(shí)，有極大值和極小值，研究他們的正負(fù)，并且找到令的點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，找出零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，令，則，，

（i）若，則恒成立，所以在上是增函數(shù)，

（ii）若，則，

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

（iii）若，則，

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，

綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；

（2）當(dāng)時(shí)，

在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

所以的極小值為，

的極大值為,

設(shè)，其中，

,

所以在上是增函數(shù)，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以有且僅有1個(gè)，使.

所以當(dāng)時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn).