Question

19．判斷函數(shù)f（x）=$\frac{1}{1+{2}^{x}}$的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析 可以看出x增大時，f（x）減小，從而判斷f（x）為減函數(shù)，可利用減函數(shù)的定義證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明f（x₁）＞f（x₂），這便證出函數(shù)f（x）在R上為減函數(shù)．

解答 解：x增大時，1+2^x增大，f（x）減�。�
∴f（x）是減函數(shù)；
證明：f（x）的定義域為R；
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{1+{2}^{{x}_{1}}}-\frac{1}{1+{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{2}}＞{2}^{{x}_{1}}$；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
∴$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}＞0$；
即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上為減函數(shù)．

點評 考查減函數(shù)的定義，以及根據(jù)減函數(shù)的定義證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），是分式的一般需通分．