Question

已知為函數(shù)圖象上一點，O為坐標(biāo)原點，記直線的斜率．

（1）若函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng) 時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）在函數(shù)定義域范圍內(nèi)求函數(shù)的極值，則極值點在內(nèi)；（2）首先根據(jù)條件分離出變量，由轉(zhuǎn)化成求的最小值（利用二次求導(dǎo)判單調(diào)性）；（3）結(jié)合第（2）問構(gòu)造出含

的不等關(guān)系，利用裂項相消法進行化簡求和.

試題解析：（1）由題意，               1分

所以                    2分

當(dāng)時，；當(dāng)時，．

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

故在處取得極大值．                       3分

因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

所以，得．即實數(shù)的取值范圍是．         4分

（2）由得，令，

則．                            6分

令，則，

因為所以,故在上單調(diào)遞增．        7分

所以,從而

在上單調(diào)遞增,

所以實數(shù)的取值范圍是．                     9分

（3）由(2) 知恒成立,

即          11分

令則，        12分

所以， ，  ,．

將以上個式子相加得：

，

故．                14分

考點：1.函數(shù)極值、最值的求法；2.函數(shù)單調(diào)性的判定；3.恒成立問題的轉(zhuǎn)化.