Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面為邊長(zhǎng)是2的方形, ， 分別是， 的中點(diǎn)， ， ，且二面角的大小為.

（1）求證： ；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析.（2）.

【解析】試題分析：（1）作于點(diǎn)連接，可證， ，又，

∴平面，即可證明；

（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)， , , 所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

利用空間向量可求二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：作于點(diǎn)連接，

∵， ， ，

∴，∴，

即， ，又，

∴平面，又平面，

∴.

（2）∵平面平面，平面平面，

，∴平面.

以點(diǎn)為原點(diǎn)， , , 所在直線為軸，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

∵,

∴.

∴，即.

∴， ， ， .

∴,，

設(shè)平面的法向量，

由，得

令，得

易知為平面的一個(gè)法向量.

設(shè)二面角為， 為銳角

則.