Question

【題目】已知函數(shù)，，．

（1）若且，求函數(shù)的最小值；

（2）若對于任意恒成立，求a的取值范圍；

（3）若，求函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）先將函數(shù)化簡，然后利用基本不等式求解出的最小值；

（2）先根據(jù)進(jìn)行簡單化簡，然后將絕對值不等式平方，根據(jù)一次函數(shù)在給定區(qū)間上恒大于零列出不等式組，求解出的范圍；

（3）因?yàn)?/span>是增函數(shù)，因此只需要考慮與的大小關(guān)系即可，對采用分類討論的方法，即可求解出.

（1）因?yàn)?/span>且時(shí)，，

所以，取等號時(shí)，

所以的最小值為；

（2）因?yàn)?/span>對任意恒成立，所以對任意恒成立，

所以即對任意恒成立，

所以，解得：，

所以；

（3），

圖象分別是以和為頂點(diǎn)的開口向上的型線，且兩條射線的斜率為，

當(dāng)時(shí)，即，所以，此時(shí)令，所以，

若，，此時(shí)恒成立，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

若，，令，即，所以，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

當(dāng)時(shí)，即，所以，此時(shí)令，所以，

若時(shí)，，令，即，所以，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

若時(shí)，，此時(shí)恒成立，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

當(dāng)時(shí)，則，所以，所以恒成立，

令，即，所以，當(dāng)時(shí)，，

若時(shí)，則，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

若時(shí)，則，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

若，則，

所以，此時(shí)為圖中紅色部分圖象，對應(yīng)如下圖：

綜上所述：的最小值為.