Question

6．在三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAB，側(cè)面PAC，側(cè)PBC兩兩互相垂直，且$PA：PB：PC=1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$，設(shè)三棱錐P-ABC的體積為V₁，三棱錐P-ABC的外接球的體積為V₂，則$\frac{V_2}{V_1}$=（　�。�

• A． $\frac{{7\sqrt{14}}}{3}π$
• B． 6π
• C． 3π
• D． $\frac{8}{3}π$

Answer 1

分析 三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑，然后求球的體積V₂．三棱錐P-ABC的體積為V₁即可．

解答 解：∵三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAB，側(cè)面PAC，側(cè)PBC兩兩互相垂直，即三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴(kuò)展為長(zhǎng)方體的外接球，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，就是球的直徑；
∵$PA：PB：PC=1：\sqrt{2}：\sqrt{3}$，設(shè)PA=1，則三棱錐P-ABC的體積為V₁=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{6}}{6}$．
三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{{1}^{1}+（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，體積為V₂=$\frac{4}{3}π{R}^{2}=\sqrt{6}π$，
則$\frac{V_2}{V_1}$=6π．
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．