Question

【題目】已知橢圓G：，過點作圓的切線交橢圓G于A、B兩點．

（1）求橢圓G的焦點坐標和離心率；

（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）焦點坐標為，，；

（2），，2．

【解析】

試題分析：（1）先由橢圓的標準方程求出值，再利用求出值，進而寫出焦點坐標和離心率；（2）先討論兩種特殊情況（點在圓上，即斜率不存在的情況），再設(shè)出切線的點斜式方程，利用直線與圓相切得到與的關(guān)系，再聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式得到關(guān)于的關(guān)系式，再利用基本不等式進行求解．

試題解析：（1）由已知得：，所以．

所以橢圓G的焦點坐標為，．

離心率為．

（2）由題意知：．

當時，切線的方程為，點A，B的坐標分別為，，

此時．

當時，同理可得．

當時，設(shè)切線的方程為．由，得

．

設(shè)A，B兩點的坐標分別為，，則

，．

又由與圓相切，得，即．

所以，

由于當時，，

所以，．

因為，且當時，，

所以的最大值為2．