Question

8．若a＞b＞0，則$\sqrt{2}$a³+$\frac{3}{ab-^{2}}$的最小值為10．

Answer 1

分析 先求出ab-b²取最大值時的a，b的關系，集合基本不等式的性質求出即可．

解答 解：ab-b²=b（a-b）≤$\frac{{a}^{2}}{4}$，
當且僅當a=2b時取等號，
$\sqrt{2}$a³+$\frac{3}{ab{-b}^{2}}$≥$\sqrt{2}$a³+$\frac{12}{{a}^{2}}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a³+$\frac{\sqrt{2}}{2}$a³+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{a}^{2}}$
≥5$\root{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×4×4×4}$
=5$\root{5}{32}$=10，
故答案為：10．

點評 本題考查了基本不等式的性質，先求出ab-b²取最大值時的a，b的關系是解題的關鍵，本題是一道中檔題．