Question

【題目】如圖，在多邊形中（圖1）．四邊形為長方形，為正三角形，，，現(xiàn)以為折痕將折起，使點在平面內(nèi)的射影恰好是的中點（圖2）．

（1）證明：平面：

（2）若點在線段上，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）過點作，垂足為，由于點在平面內(nèi)的射影恰好是中點，可得平面，進一步得到，又因為，，則平面；

（2）取的中點，以為坐標原點，以，，分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，代入夾角公式可求出結(jié)果．

（1）作的中點，連接，由題知平面．

因為，所以，

又因為，

所以平面．

（2）取的中點，連接，則，，，以為坐標原點，以，，分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系．

則，，

，，

，

設(shè)平面的一個法向量為

則有，令，所以

易知平面的一個法向量為

所以，

所以二面角的余弦值為．