Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，且為方程的兩根，，求出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

（1）.

①當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減.

即函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，

令，得.

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減.

即函數(shù)有一個(gè)極大值點(diǎn)，有一個(gè)極小值點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，

即在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)，即只有1個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，即有2個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn).

（2）由（1）可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

有兩個(gè)極值點(diǎn)，且為方程的兩根，

即，

所以

.

令，

則恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，

即.