Question

4．若點(diǎn)P在拋物線y²=2x上運(yùn)動(dòng)，A的坐標(biāo)為（$\frac{7}{2}$，4），那么點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)A的距離之和的最小值是$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PN⊥準(zhǔn)線l交y軸于點(diǎn)M，P到y(tǒng)軸的距離=|PM|-$\frac{1}{2}$．當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值|FA|，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：y²=2x的準(zhǔn)線是x=-$\frac{1}{2}$．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，0）
過點(diǎn)P作PN⊥準(zhǔn)線l交y軸于點(diǎn)M，
則P到y(tǒng)軸的距離=|PN|-$\frac{1}{2}$．
當(dāng)A，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|取得最小值
|FA|=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
∴|PA|與P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值=5-$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的定義及其性質(zhì)、三點(diǎn)共線、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．