Question

【題目】已知拋物線x2=4y．

（1）求拋物線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程；

（2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（如圖所示），且OA⊥OB，|OA|=|OB|，求直線l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）y=x-1; （2）

【解析】

（1）方法一，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程； 方法二，利用判別式即可求出切線方程；

（2）設(shè)直線l方程以及AB兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，以及相似三角形即可求出．

解：（1）方法一：點(diǎn)P（2，1）在拋物線上，即y=x2，

∴y′=x，

∴切線的斜率k=y′|=×2=1，

∴拋物線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程為y=x-1，

方法二：設(shè)拋物線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程為y-1=k（x-2），（k＞0），即y=kx+1-2k，

代入到x2=4y，可得x2-4kx+8k-4=0，

由△=16k2-4（8k-4）=0，

解得k=1，

∴拋物線在點(diǎn)P（2，1）處的切線方程為y=x-1，

（2）設(shè)直線l方程為：y=kx+m，（k＞0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由，消去y得x2-4kx-4m=0，

∴x1+x2=4k，x1x2=-4m，

∵OA⊥OB，

∴=0，

∴x1x2+y1y2=0，

∴x1x2+=0，

解得x1x2=-16，或x1x2=0（舍去）

∴-4m=-16，

∴m=4，

過(guò)點(diǎn)A，B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足為A1，B1，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB=90°，

∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°，

∴∠AOA1+∠BOB1=90°，

∵∠OBB1+∠BOB1=90°，

∴∠AOA1=∠OBB1，

∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B，

∴==，

∴y2=-8x1，x22=-32x1，

∵x1x2=-16，

∴x1=-2，x2=8，

∴x1+x2=6=4k，

解得k=，

∴直線l的斜率為．